Роль математики в повседневной жизни велика. Двадцатый век называют веком бурного проникновения математических методов в самые различные науки: физику и химию, археологию и медицину, экономику и другие науки.

Язык математики абстрактный, это чаще всего символическая запись в виде формул, отражающая закономерность изучаемого явления, графическая интерпретация изучаемых процессов. Математика и экономика – две на первый взгляд далекие друг от друга науки. Абстрактность одной и практицизм другой. Можно ли найти взаимосвязь между этими науками? Можно ли применить математический язык для объяснения экономических процессов? Еще в XVII веке роль математических методов в анализе экономических процессов, объектов и явлений были отмечены как ученными математики, так и экономистами. В XIX веке выдающиеся исследователи Антуан Курно (1801-1877) и Альфред Маршалл (1842-1924) впервые применили серьезный математический аппарат к изучению проблем рынка.

Основным понятием в математике является понятие функции. В экономике существует понятие однофакторной производственной функции.

Функцию, выражающую зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на ее производство, называют однофакторной производственной функцией. Функция, в которой роль независимой переменной играют затраты, а зависимая переменная определяет уровень выпуска, называют функцией выпуска или производственной функцией. В функции затрат, независимая переменная-выпуск, а зависимая - затраты.

В математике для исследования функций широко применяются методы дифференциального исчисления. А геометрический смысл производной заключается в вычисление углового коэффициента касательной к графику функции. Применение производной используют и в других науках, например

​ Вычисление мгновенной скорости неравномерного движения. (область применения: механика)

​ Отыскание плотности тела в данной точке (область применения: физика)

​ Скорость протекания химической реакции в данный момент времени (область применения: химия)

В экономике также используют производную и ее приложения. Методы дифференциального исчисления позволяют выяснить экономический смысл однофакторных функций, определить их роль в экономическом анализе. С помощью производной функции можно вычислить предельные издержки производства.

Доказательством такого факта может служить следующая задача:

Пусть х – объем производства некоторой продукции

Р – суммарные издержки производства

Р=f(x) – производственная функция(функция затрат)

Вычислить предельные издержки производства

Решение: Предельные издержки отражают изменения в издержках, которые повлечет за собой увеличение или уменьшение производства на одну единицу.

1.​ увеличим объем производства на единиц,

2.​ затраты возрастут на 

3.​ среднее приращение издержек выражается отношением 

4.​ предельные издержки производства вычисляем как предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении, т.е. 

Данная схема представляет правило четырех шагов для вычисления производной функции.

Как производные соответствующих функций, вычисляются экономические показатели: предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса. Рассмотрим несколько экономических ситуаций.

Задача 1

Функция затрат имеет вид: . Определить предельные издержки производства при данном объеме выпуска х1=3, х2=9. Сделать экономические выводы.

Решение:

1.​ Вычислим предельные издержки, как производную функции затрат 

2.​ Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска

х1=3:  

х2=9:  

Из расчетов видно, что с увеличением объема производства предельные издержки уменьшаются.

Экономический вывод: при увеличении выпуска продукции на малую единицу потребуется все меньших дополнительных затрат.

Задача 2

Металлургический завод производит х тыс.тонн металлопроката в месяц. По договору ежемесячная поставка строительной компании составляет не менее 20 тыс.тонн металлопроката. Производственные мощности завода таковы, что выпуск металлопроката не может превышать 90 тыс. тонн в месяц. Определить при каком объеме производства удельные затраты будут наименьшими (наибольшими), если функция затрат имеет вид .

Решение:

1.​ Определим удельные затраты (средние затраты на 1ед. продукции).

2.​ Определим при каком объеме производства удельные затраты будут наименьшими (наибольшими). Для этого найдем наименьшее (наибольшее) значения функции  на отрезке 

 стационарная точка

3.​ Вычислим значения функции на концах промежутка и в стационарной точке

4.​ Наименьшие удельные затраты составят 320 усл. ед. при выпуске 90 тыс. тонн

Наибольшие удельные затраты составят 2601 усл. ед. при выпуске 49 тыс.тонн

Экономический вывод: удельные затраты предприятия растут с увеличением объема производства до 49 тыс.тонн, при выпуске 49 тыс.тонн они достигают максимума, равного 2601 усл. ед., дальнейший рост производства приводит к уменьшению удельных затрат. Наименьшие удельные затраты составляют 320 усл. ед. при выпуске 90 тыс. тонн. Одной из причин достижения таких результатов служит эффективное использование всех имеющихся ресурсов завода.

Примеры приведенных задач убедили меня в том, что производная находима не только при решении математических задач, но и открывает широкие возможности при исследовании экономических ситуаций.