Главная » Статьи » Конкурсные работы » Международная заочная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Умникум»

Методы решения неопределенных уравнений первой степени
Уравнения для меня важнее, потому что
политика – для настоящего,
а уравнения – для вечности.
Альберт Эйнштейн


В олимпиадах часто встречаются задачи о размене, например, сколькими и какими способами можно заплатить 200 рублей, имея банкноты по 3 руб. и по 10 руб.?
Обозначим х – трехрублевые билеты, у – десятирублевые билеты. Получаем уравнение 200=3х+10y. Это неопределенное уравнение первой степени.
Меня заинтересовало, когда впервые появились такие уравнения, кто и каким способом решал эти уравнения, чем способы отличаются. Решение уравнений в целых числах имеет не только теоретический интерес. Такие уравнения встречаются в различных областях знаний.
Цель: обобщение теоретического и исторического материала по теме “Неопределенные уравнения первой степени”
Объект исследования: неопределенные уравнения первой степени.
Предмет исследования: методы решения неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными.
Гипотеза: неопределенные уравнения первой степени решаются различными методами.
Методы решения неопределенных уравнений первой степени складывались веками. Именно Диофант положил начало всему этому большому математическому разделу, в чем его огромнейшая заслуга. С 5 века неопределенными уравнениями начали заниматься ученые Индии. Ариабхата разработал метод спуска (рассеивания). А индийский ученый Брахмагупта подразделял диофантовы уравнения по степеням и по их числу.
Уже в средние века Баше де Мезирьяк выпустил сочинение Диофанта на латинском языке со своими примечаниями, а также закончил теорию уравнений первой степени с двумя неизвестными. Жозеф Лангранж разработал метод цепной дроби.
В работе рассматриваются 4 метода решения неопределенного уравнения первой степени:
• метод подбора (перебора);
• метод спуска (рассеивания);
• метод цепной дроби;
• метод на основе алгоритма Евклида.
Я решила уравнение 5х+8у=29 всеми методами. Также я составила задачу «О паркетных досках», с которой возможно каждый второй сталкивался во время ремонта.
Для настилки пола длинной в 860 см и шириной 500 см имеются паркетные доски в 120 см и 130 см. Сколько требуется взять целых досок того и другого размера, чтобы не пришлось распиливать?
Пусть количество досок с длинной 120 см х шт., тогда количество досок с длинной 130 см у шт. Известно что длина пола 860 см. Можно составить уравнение:
120х+130у=860 , 12х+13у=86
Решая подбором, получаем, что нужно 2 доски по 120 см, 5 досок по 130 см.
500:20=25 полосок паркетной доски уместиться на полу шириной 5 м;
2*25=50 шт. – для застилки всего пола потребуется досок длиной 120 см;
5*25=125 шт. – для застилки всего пола потребуется досок длиной 130 см.
Экономическое обоснование:
Стоимость доски длиной 130 см – 135 руб. Если бы доска длиной 120 см была сделана из того же материала, что и доска длиной 130 см, то стоила она бы 124 руб.

-------- --- I вариант --------- II вариант ------------ III вариант
135 руб. ----125 шт ------------------175 шт. ------------ -
124 руб. -----50 шт -------------------- - ------------- 200 шт.
---- - -------23075 руб. -----------23625 руб. ------ 24800 руб.

Благодаря этому не сложному способу мы значительно сократили расход средств на необходимый нам товар.
В ходе работы мы изучили литературу по данной теме; получили ответ на вопрос о разрешимости неопределенных уравнений первой степени в целых числах; научились решать такие уравнения методом подбора, спуска, цепных дробей и с помощью алгоритма Евклида; решили задачу, математической моделью которой является данное уравнение; решили в целых числах разными методами неопределенное уравнение первой степени; создали буклет «Методы решения неопределенных уравнений первой степени» и историческую таблицу о диофантовых уравнениях; доказали выдвинутую нами гипотезу о том, что неопределенные уравнения первой степени решаются различными методами.
Проведенное нами исследование методов решения неопределенных уравнений первой степени позволяет нам сделать следующие выводы:
• ученые Индии первые предложили об¬щий метод для решения в целых числах неоп¬ределенных уравнений первой степени с целыми коэффициентами;
• во всех методах, которые мы рассмотрели, используются свойства делимости чисел;
• зная одно частное решение уравнения, можно найти общее решение уравнения;
• теория неопределенного уравнения первой степени с двумя переменными была завершена в XVII веке Баше де Мезериаком.

Библиография
1. А. А. Бухштаб. Теория чисел.- М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.
2. Ю.В. Матисеевич. Десятая проблема Гильберта. - М.: «Физматлит», 1973 г.
3. Ю. Соловьев. Неопределенные уравнения первой степени: Квант, 1992 г.
4. А.О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, - М.: «Гостехиздат», 1957 г.
5. Е.Л.Литвер. Теория чисел. - М.:МГУ,1966 г.
6. К. Ф. Гаусс. Труды по теории чисел. - М, 1959 г.

Автор: Деркач Юлия Алексеевна, учащаяся 8 А класса МАОУ «Гимназия №8» г. Перми
Руководитель: Коньшина Елена Викторовна, учитель математики МАОУ «Гимназия №8» г. Перми
Категория: Международная заочная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Умникум» | Добавил: Надежда_Владимировна (09.04.2013)
Просмотров: 1290 | Комментарии: 2
Всего комментариев: 2
Уникальность текста 99%.

Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
x