| Главная » Статьи » Конкурсные работы » Международная заочная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Умникум» |
Схема Горнера при решении уравнений высших степеней
| При решении уравнений школьного курса мы встречаемся с линейными и квадратными уравнениями. Также встречаются биквадратные уравнения, которые решаются методом замены переменных. Немаловажную роль играют в математике и ее приложениях уравнения высших порядков. Основная задача при решении любого уравнения - найти все ее решения или доказать, что решений нет. Для этого используются различные методы, которые позволяют за определенное количество действий прийти к нужному результату. При проверке наличия целых корней уравнения удобно пользоваться схемой Горнера. Пусть нам дано уравнение f(x)=0, f(x)=anxn+ an-1xn-1 + an-2xn-2 +…+ a1x + a0 . Любой целый корень этого многочлена является делителем его свободного члена. Пусть x0- число, относительно которого мы хотим выяснить, является ли оно корнем данного уравнения. Коэффициенты частного g(x)=bn-1xn-1 +…+b1 x1 +b0 и остаток от деления f(x) на x-x0 находятся по схеме Горнера:  В первой строке этой таблицы записаны коэффициенты многочлена f(x). Во второй строке получаются коэффициенты частного и остаток. Здесь bn-1=an, bk = x0bk+1+ ak+1 (0<k<n-1), r=x0 b0 +a0 Известно, что r=f(x0), значит, если r=0, то x0- корень уравнения. Если r=0, то x0 –корень уравнения . Пример 1. Решите уравнение 2x3-15x2 +22x+15=0 Предполагаемые корни (т.к. они являются делителями свободного члена уравнения) +1,+3,+5,+15. Возьмем x=1, подстановкой убеждаемся, что число не является корнем. Возьмем x=3  Разложим в виде произведения множителей Имеем: (x-3)(2x2-9x-5)=0 x-3=0 2x2-9x-5=0 x=3 x= -1/2, x=5 Ответ: -1/2; 3; 5 Пример 2. Решить уравнение (x2-6x)2+14(x-3)2=81 Решение: Раскроем скобки получим уравнение x4-12x3+50x2-84x+45=0 Делители свободного члена: ±1,±3,±5, ±9,±15, ±45 Пусть x=1 Применим схему Горнера:  Получили разложение вида (x-1)(x3-11x2+39x-45)=0 Рассмотрим многочлен x3-11x2+39x-45=0  Получим разложение (x-1)(x-5)(x2-6x+9)=0 Решая уравнение получим корни: x=1, x=5, x=3 Ответ: 1, 3,5 Пример 3. Решите уравнение: x5+3x4+2x3+6x2-2x-6=0 Делители свободного члена ±1,±2, ±3,±6 Применим схему Горнера:  Получим разложение: x4+2x2-2=0 Биквадратное уравнение, решаем методом подстановки, получаем: x1=√-1+√3 x2=-√-1+√3 Ответ: -3; ±√-1+√3 Практическая значимость заключается в том, что с помощью схемы Горнера можно решить многие уравнения школьного курса. Однако эту схему тяжело применить среди уравнений высших степеней, у которых свободный член содержит большое количество делителей. Литература 1. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.- М.: Мнемозина, 2007. 2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства/ В. В.Вавилов, И.И.Мельникова/Москва: Изд-во "Наука", 1987. 3. Методы решения уравнений/ М.Ф. Гильмуллин, Т.Е. Новоженина.- Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2005. Автор: Васильева Анастасия Семеновна, учащаяся 9В класса МБОУ «Школа №127» г. Казань. Руководитель: Альмеева Алсу Айратовна, учитель математики. | |
| Категория: Международная заочная научно-практическая конференция учащихся и студентов «Умникум» | Добавил: Надежда_Владимировна (27.03.2013) | |
| Просмотров: 3314 | Комментарии: 2 |
| Всего комментариев: 2 | |
|
| |
0
